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ミニ講義 ― 東京都立大学の「学び」を体験!
倉田 和浩 教授

倉田 和浩 教授
H30再編後の所属
理学部 数理科学科
倉田 和浩 教授 【教員紹介】
キーワード:
数学, 化学物質, 微分方程式

動物の模様は数式で表すことができる! 生命現象を数学で説明する

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数字以外も数式で表すことができる?

細胞分裂や、微生物の形態形成といった生命現象も「数式」で記述することができます。パターン形成といって、動物の模様などの興味深い事例を数学的に解析することも可能です。例えば、シマウマのしま模様やヒョウの斑点(はんてん)模様といったパターンはどのように決まるのか、という疑問は微分を用いた方程式で説明することができるという考え方があります。これは1952年にチューリングという研究者が書いた生物数学の論文に由来します。

動物の模様を説明するチューリング・パターン

インクを垂らすと周囲に広がっていくように、物質の中には一部に偏って存在するのではなく空間全体を均一にしようと「拡散」するものがあります。一方で、2つの化学物質をまぜたときに、お互いが増やしたり抑制したりしてバランスを保とうとする、「相互作用」という現象も存在します。こうした拡散と相互作用という2つの効果によって、動物の体表にあるような模様が生まれると考えられています。特に、チューリングは2つの化学物質の拡散速度の違いを指摘し、相互作用の効果とあわせると、斑点のような一見すると安定していない状態が定着しうる、と説いたのです。

微分方程式で動物の模様を解析する

例えば化学物質Aを黒い色素だと仮定します。この濃度が高いところは黒くなり、低いところは白くなります。もうひとつ、化学物質Bが存在し、これが化学物質Aの増加を邪魔するとします。化学物質Bの濃度が高いところには化学物質Aが拡散していくことができません。さらに、化学物質Bの拡散が速いと、化学物質Aの分布範囲がせまくなっていきます。そして各物質が密集している部分で活性化すると、模様ができあがります。こうした状況は微分方程式で証明でき、グラフにすることも可能です。高校で習っているようなきれいな曲線のグラフではなく、ぐにゃぐにゃとした形になるため、数学の世界では「非線形現象」と呼ばれています。

最も低い音を出す太鼓の形は? 数学で考える身近な問題

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微分や積分の可能性

高校でも習う微分や積分は、数学における解析学という分野の基礎です。変化を記述するために使うのが微分、量を記述するときに使うのが積分です。そのため、微分積分を応用すれば自然現象や生命現象などを説明することもできます。例えば、一番低い音を出す太鼓はどのような形か、という問いも計算によって解を導き出すことが可能です。

低い音を出す太鼓の条件とは

太鼓は、基準となる音が重なりあうことによって耳に届きます。人間の耳は低い音が聞こえやすく、高すぎる音は聞こえません。そこで一番低い太鼓の音を固有値と定めて、その音を出すために最適な太鼓の形を考えます。一般的な太鼓は丸い形をしていますが、数学では三角形や四角形など、さまざまな形の太鼓から出る音について考えることができます。振動を記述する式を用いて、固有値が最も小さくなるように計算していくと、低い音を出す太鼓の形を導き出せます。この問題は1920年代にも考えられていて、円形の太鼓が最も低い音を出す、という結論が出ています。しかしこの時点では、皮に材質が均一な膜を使用する、という設定で計算されていました。

膜の貼り合わせ方で音は変わる

そこで2000年代に、太鼓の形を固定した上で、膜の材質や貼り合わせ方を変えた場合、最も低い音になる太鼓はどのようなものか、という思考実験がなされました。AとBという2種類の膜があり、それぞれ密度が異なるとします。Aの膜とBの膜の比率を一定としてありとあらゆる貼り合わせ方の中で、最も低い音を出す膜の貼り合わせ方(最適解)を見つけていきます。すると、楕円(だえん)形の場合は中心に固めるように膜を貼る、四角形の場合は密度の高い膜を軸対称になるように貼る、などの結論が導かれました。膜の貼り合わせ方は無限にあるため、計算はかなり複雑になります。しかし実際に太鼓を鳴らして考えるのではなく、計算だけで答えを出すことができる、つまり、数式でシミュレーションができるのも数学の面白さだといえます。

高校生・受験生の皆さんへのメッセージ

高校で数学を学んでいると、「この先も数学を学び続けた場合、なにを得ることができるのか」という疑問を持つでしょう。しかし高校で学ぶ数学は、たとえ数学者にならないとしても、あなたの将来の土台となります。まずは基礎をしっかり身につけ、正確な計算ができるようになってください。
わからない問題があるときはすぐに答えを見るのではなく、なぜそのような解き方になるのかを考えると、成長のきっかけになります。疑問が解けて「そうか!」と納得する体験を積み重ねると、数学がより面白くなるはずです。


夢ナビ編集部監修

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