本文へ移動します

津村 博文 教授

都市教養学部 理工学系 数理科学コース
津村 博文 教授

キーワード:
素数, 数学, 自然数

解けたら賞金1億円! 数学史上最大の難問、リーマン予想とは?

天才数学者たちの挑戦を退けてきた難問

数学の世界には、何世紀にもわたって未解決のまま残されている問題が、今でも数多くあります。それらの中でも証明するのが非常に難しいと考えられている重要な問題が、「リーマン予想」と呼ばれるものです。19世紀にドイツの数学者ベルンハルト・リーマンが提唱したこの予想に対し、これまで数多の天才数学者たちが人生を賭けた挑戦を続けてきましたが、完全な証明には未だに誰も成功していません。アメリカのクレイ数学研究所では、リーマン予想を解決した人に1億円の賞金を用意しているほどです。

素数の分布には、実は規則性がある?

リーマン予想を数学的な表現で言い表すと、「ゼータ関数の自明でないゼロ点はその実部がすべて1/2の直線上にある」となります。非常に難しい内容ですが、これが証明されると、素数に関する重要な問題が解決できる可能性が出てきます。
素数は、「1とそれ自体以外に正の約数を持たない自然数」です。2、3、5、7、11、13、17……と、何の規則性も持たず無秩序に出現しているようにしか思えない素数ですが、リーマン予想が解明されると、こうした素数がどのような規則性に基づいて分布しているのかを導き出せるのでは、と考えられているのです。

リーマン予想が解明されると、社会はどうなる?

リーマン予想が解決されると、社会にもさまざまな影響が及ぶ可能性があります。現在、インターネット上での情報のやりとりに使われている暗号化技術には、非常に大きな桁数の素数の情報が用いられていますが、素数の分布の規則性がリーマン予想の解明によって明らかになれば、もしかすると、そうした暗号化技術の安全性も脅かされるかもしれません。その一方で、リーマン予想が解明されると、素粒子理論などこの世界や宇宙そのものの仕組みを明らかにする手助けになるのでは、とも考えられています。
いつの日か、この史上最大の難問を解明する人が現れるのかもしれません。

360年間も解けなかった数学の問題が解けた!

未解決問題が数多く残る整数論の世界

整数論は、「整数」の持つ性質について研究する数学の一分野です。非常に古くから存在する研究分野ですが、現代においても未解決の問題がたくさん残されているため、大勢の数学者たちがそれらに挑み続けている、活発で魅力的な分野でもあります。

ついに証明された「フェルマー予想」

整数論の世界で長い間証明できないでいた未解決問題の中でも、もっとも有名なのが「フェルマー予想」です。これは、17世紀のフランスの数学者、ピエール・ド・フェルマーが残した予想で、「3以上の自然数nに対して、『Xのn乗+Yのn乗=Zのn乗』となる自然数X、Y、Zは存在しない」というものでした。簡潔な予想に見えますが、このフェルマー予想を証明したり、反例の有無を確認したりすることは困難を極め、その後360年もの間、誰も解決することができなかったのです。
ところが1994年、イギリスの数学者アンドリュー・ワイルズが、ついにフェルマー予想の完全な証明に成功したのです。ワイルズは整数論だけでなく、幾何学や物理学の分野にも通じるさまざまなアプローチを総動員することによって、この難問を見事に解決しました。その証明のプロセスは非常に難解で、本当の意味でそれらを理解していた人は、その当時、世界でもごくわずかだと言われていました。

整数の謎が持つ美しさとロマン

フェルマー予想以外にも、整数論の分野には、何百年も前から未解決のままの問題が数多く残されています。例えば、素数の分布については未だにわからない部分が多く、それを逆手に取って暗号理論に用いられているほどです。整数の謎が持つ美しさとロマン、そしてそれを解くことができた時の喜びは、ほかの研究分野では味わえないものです。私たちの純粋な知的好奇心を刺激してくれる整数論の世界は、時代の流れにとらわれない貴重な知的文化でもあるのです。

高校生・受験生の皆さんへのメッセージ

私の専門は整数論と呼ばれる、非常に古くからある研究分野です。はるか昔に予想された問題でも、未だに解けていないものがたくさんあります。見た目は小学生でもわかる問題でも、実際に解こうとすると、どこから手を付けていいかよくわからないものが多いのです。
大学の整数論は、複素数や多項式など広い世界の中で整数の性質を研究するのが目標です。関数や図形、微分積分、行列・ベクトルなどを高度に駆使して研究します。本学は教員と学生の距離が近く、研究しやすい環境です。無限に広がる数学の世界を一緒に探検しましょう。

夢ナビ編集部監修

ページトップへ