本文へ移動します

赤穂 まなぶ 准教授

赤穂 まなぶ 准教授

都市教養学部 理工学系 数理科学コース
赤穂 まなぶ 准教授

キーワード:
幾何学, 数学, 物理学

「素粒子論」と「幾何学」が同じ考え方で成り立つ?

イメージ1
移動する点の動きには法則がある

楕円形のテーブルでビリヤードをしたとき、壁のどの位置から突けば球は再び同じ場所へと戻ってくるでしょうか?移動する球の動きを追っていくと、実は幾何学的な法則性が潜んでいます。その軌道を微分方程式や解析、代数を使って解き明かすと、球を突くべき位置や角度、速度を見つけることができるのです。このようにある意味、周期的な運動を扱うのが「シンプレクティック幾何学」の特徴です。例えばバネの伸縮や惑星の公転運動などを割り出すこともできます。

「物理学」と「数学」の関係とは?

物理の分野の中でも近年、シンプレクティック幾何学と相性がよいのが素粒子論です。物質を細分化していくと、万物の根源は素粒子になると言われています。しかし一般相対性理論と矛盾する点があるなど、素粒子を根源とすると、説明できない事柄も多数あることがわかりました。
そこで物質は粒子ではなく、ひも状のものから成り立っているという説が生み出されました。これがいわゆる「超ひも理論」なのですが、シンプレクティック幾何学で取り扱っていた、「グロモフ・ウィッテン不変量」と本質的には同じことを指していることが、1980年代にわかってきたのです。

「数学」に期待される新たな役割

数学と物理には不思議な相関があり、互いの研究を見比べてみると実は同じことを扱っているというケースがよくあります。例えば前述のウィッテンは理論物理学者で、1990年代にはサイバーグと共に素粒子論の新たな方程式を見つけ出しました。それはもともと物理現象を説明するための式でしたが、彼自身も予測していたように、数学の問題も解くことができるとわかったのです。
逆に数学が物理の理論に裏付けを与えることもあり、例えば素粒子論は扱うエネルギーレベルが高すぎて、もはや実験で検証しきれません。そうした物理の理論に裏付けを与えることも、数学のひとつの役割となっているのです。

数学者には見える、「ドラクエ」のような世界

イメージ1
ドラクエの世界は球体ではない

一般の人はすべての物体を「x、y、z」の座標で示せる、いわゆる3次元ユークリッド空間として認識しています。しかし数学者は空間をもっと自由な、グニャグニャ曲がりくねったものとしてとらえています。そうした観点から見ると、球面は無数の小さな平面が貼り合わさったものとなります。そしてある平面上の一点は、違う平面の対応する一点と同じだとみなすのです。
例えば、ゲーム「ドラゴンクエスト」で船で右へ進んでいたのに、いつの間にか地図の左の方にいたという経験はありませんか?ドラクエの世界は左右の端にある座標が対応関係にあり、それを貼り合わせるとドーナツのような形になります。上下にも同じことが言えますから、ドラクエは左右と上下2つのドーナツが組み合わさった世界となります。数学者はこのような形で空間を認識しているのです。

宇宙には何通りものモデルがある

そうした視点から宇宙をとらえると、実は数学的に矛盾のないモデルがたくさんあり、何通りもの可能性が考えられます。本来、物理学的には宇宙の形はひとつに決まっていた方がわかりやすいのですが、何通りもの可能性があると、「なぜ人間が存在するのはこの世界なのか?」という、新たな理由が必要になってしまいます。
矛盾を解決する理論として物理学から生まれたのが、「ミラー対称性」という考え方です。簡単に言うと、何通りもの宇宙モデルはすべて正しいのですが、人間の目ではある同じ形に見えるというものです。

異なる空間で問題を考える

相関関係にある2つの空間を結び付けて考える方法は、数学のさまざまな問題を解決するのに役立ちます。例えば、Aという空間で複雑だった問題がBという空間では簡単に解けることがあり、その解法を用いればAでの問題も解けるといったことが可能になるのです。さまざまな空間を並行して調べることで数学的な理解が深まるとわかったことで、ミラー対称性は現在、世界中で活発に研究されているのです。

高校生・受験生の皆さんへのメッセージ

数学には明確な式と答えがあるイメージですが、実際は違います。
実は、数学の世界は「おそらくこうなるのでは?」という予想であふれ、そもそも問題自体が確定していないものも多いのです。例えば、「○○=△△」という予想の右辺は定義できていても、左辺は定義すらできていない、そういうものがたくさんあります。数学はあまりにも高度化し、もはや研究者1人の手で解き明かせるものではなくなってきています。ある意味、すべての人に解決に寄与するチャンスがあると言えるでしょう。


夢ナビ編集部監修

ページトップへ